Криволинейное движение.

Нам известно, что всякое криволинейное движение происходит под действием силы, направленной под углом к скорости. В случае равномерного движения по окружности этот угол будет прямым. В самом деле, если, например, вращать шарик, привязанный к верёвке, то направление скорости шарика в любой момент времени перпендикулярно верёвке.

Сила же натяжения верёвки, удерживающая шарик на окружности, направлена вдоль верёвки к центру вращения.

По второму закону Ньютона эта сила будет вызывать ускорение тела в том же направлении. Ускорение, направленное по радиусу к центру вращения, называется центростремительным ускорением .

Выведем формулу для определения величины центростремительного ускорения.

Прежде всего, заметим, что движение по окружности – сложное движение. Под действием центростремительной силы тело движется к центру вращения и одновременно по инерции удаляется от этого центра по касательной к окружности.

Пусть за время t тело, двигаясь равномерно со скоростью v, переместилось из D в Е. Допустим, что в тот момент, когда тело находилось в точке D, на него перестала бы действовать центростремительная сила. Тогда за время t оно переместилось бы в точку К, лежащую на касательной DL. Если же в начальный момент тело оказалось бы под действием только одной центростремительной силы (не двигалось по инерции), то оно за время t, двигаясь равноускоренно, переместилось бы в точку F, лежащую на прямой DC. В результате сложения этих двух движений за время t получается результирующее движение по дуге DE.

Центростремительная сила

Сила, удерживающая вращающееся тело на окружности и направленная к центру вращения, называется центростремительной силой .

Чтобы получить формулу для расчёта величины центростремительной силы, надо воспользоваться вторым законом Ньютона, который применим и к любому криволинейному движению.

Подставляя в формулу F = ma значение центростремительного ускорения a = v 2 / R , получим формулу центростремительной силы:

F = mv 2 / R

Величина центростремительной силы равна произведению массы тела на квадрат линейной скорости , делённому на радиус .

Если дана угловая скорость тела, то центростремительную силу удобнее рассчитывать по формуле: F = m? 2 R, где? 2 R – центростремительное ускорение.

Из первой формулы видно, что при одной и той же скорости чем меньше радиус окружности, тем больше центростремительная сила. Так, на поворотах дороги на движущееся тело (поезд, автомобиль, велосипед) должна действовать по направлению к центру закругления тем большая сила, чем круче поворот, т. е. чем меньше радиус закругления.

Центростремительная сила зависит от линейной скорости: с увеличением скорости она увеличивается. Это хорошо известно всем конькобежцам, лыжникам и велосипедистам: чем с большей скоростью движешься, тем труднее сделать поворот. Шофёры очень хорошо знают, как опасно круто поворачивать автомобиль на большой скорости.

Линейная скорость

Центробежные механизмы

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Бросим какое-нибудь тело л од углом к горизонту. Следя за его движением, мы заметим, что тело сначала поднимается, двигаясь по кривой, потом также по кривой падает вниз.

Если направлять струю воды под разными углами к горизонту, то можно видеть, что сначала с увеличением угла струя бьёт всё дальше и дальше. При угле в 45° к горизонту (если не учитывать сопротивления воздуха) дальность наибольшая. При дальнейшем увеличении угла дальность уменьшается.

Для построения траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту, проведём горизонтальную прямую OA и к ней под заданным углом – прямую ОС.

На линии ОС в выбранном масштабе откладываем отрезки, численно равные путям, пройденным в направлении бросания (0–1, 1–2, 2–3, 3–4). Из точек 1, 2, 3 и т. д. опускаем перпендикуляры на ОА и на них откладываем отрезки, численно равные путям, проходимым свободно падающим телом в течение 1 сек (1–I), 2 сек (2–II), 3 сек (3–III) и т. д. Точки 0, I, II, III, IV и т. д. соединяем плавной кривой.

Траектория тела симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через точку IV.

Сопротивление воздуха уменьшает как дальность полёта, так и наибольшую высоту полёта, и траектория становится несимметричной. Таковы, например, траектории снарядов и пуль. На рисунке сплошная кривая показывает схематически траекторию снаряда в воздухе, а пунктирная – в безвоздушном пространстве. Насколько сопротивление воздуха изменяет дальность полёта, видно из следующего примера. При отсутствии сопротивления воздуха снаряд 76-миллиметрового орудия, выпущенный под углом 20° к горизонту, пролетел бы 24 км. В воздухе же этот снаряд пролетает около 7 км.

Третий закон Ньютона

Движение тела, брошенного горизонтально

Независимость движений

Всякое криволинейное движение является сложным движением, состоящим из движения по инерции и движения под действием силы, направленной под углом к скорости тела. Это можно показать на следующем примере.

Допустим, что шарик движется по столу равномерно и прямолинейно. Когда шарик скатывается со стола, вес его больше уже не уравновешивается силой давления стола и он, по инерции сохраняя равномерное и прямолинейное движение, одновременно начинает падать. В результате сложения движений – равномерного прямолинейного по инерции и равноускоренного под действием силы тяжести – шарик перемещается по кривой линии.

Можно на опыте показать, что эти движения независимы одно от другого.

На рисунке изображена пружина, которая, выгибаясь под ударом молотка, может привести один из шариков в движение в горизонтальном направлении и одновременно освободить другой шарик, так что оба они начнут движение в один и тот же момент: первый – по кривой, второй – по вертикали вниз. Оба шарика ударятся о пол одновременно; следовательно, время падения обоих шариков одинаково. Отсюда можно заключить, что движение шарика под действием силы тяжести не зависит от того, покоился ли шарик в начальный момент или двигался в горизонтальном направлении.

Этот опыт иллюстрирует очень важное положение механики, называемое принципом независимости движений .

Равномерное движение по окружности

Одним из простейших и весьма распространённых видов криволинейного движения является равномерное движение тела по окружности. По окружности, например, движутся части маховиков, точки земной поверхности при суточном вращении Земли и т. д.

Введём величины, характеризующие это движение. Обратимся к рисунку. Пусть при вращении тела одна из его точек за время t перешла из A в В. Радиус, соединяющий точку А с центром окружности, повернулся при этом на угол? (греч. «фи»). Быстроту вращения точки можно характеризовать величиной отношения угла? ко времени t, т. е. ? / t .

Угловая скорость

Отношение угла поворота радиуса, соединяющего движущуюся точку с центром вращения, к промежутку времени, за который происходит этот поворот, называется угловой скоростью .

Обозначая угловую скорость греческой буквой? («омега»), можно написать:

? = ? / t

Угловая скорость численно равна углу поворота в единицу времени.

При равномерном движении по окружности угловая скорость есть величина постоянная.

При вычислении угловой скорости угол поворота принято измерять в радианах. Радиан есть центральный угол, длина дуги которого равна радиусу этой дуги.

Движение тел под действием силы, направленной под углом к скорости

При рассмотрении прямолинейного движения стало известно, что если на тело действует сила в направлении движения, то движение тела будет оставаться прямолинейным. Изменяться будет только величина скорости. При этом если направление силы совпадает с направлением скорости, движение будет прямолинейным и ускоренным. В случае же противоположного направления силы движение окажется прямолинейным и замедленным. Таковы, например, движение тела, брошенного вертикально вниз, и движение тела, брошенного вертикально вверх.

Рассмотрим теперь, как будет двигаться тело под действием силы, направленной под углом к направлению скорости.

Обратимся сначала к опыту. Создадим траекторию движения стального шарика около магнита. Сразу замечаем, что вдали от магнита шарик двигался прямолинейно, при приближении же к магниту траектория шарика искривлялась и шарик двигался по кривой. Направление скорости его при этом непрерывно менялось. Причиной этого было действие магнита на шарик.

Мы можем заставить двигаться по кривой прямолинейно перемещающееся тело, если будем толкать его, тянуть за привязанную к нему нить и так далее, лишь бы сила была направлена под углом к скорости перемещения тела.

Итак, криволинейное движение тела происходит под действием силы, направленной под углом к направлению скорости тела .

В зависимости от направления и величины силы, действующей на тело, криволинейные движения могут быть самыми разнообразными. Наиболее простыми видами криволинейных движений являются движения по окружности, параболе и эллипсу.

Примеры действия центростремительной силы

В некоторых случаях центростремительная сила является равнодействующей двух сил, действующих на движущееся по окружности тело.

Рассмотрим несколько таких примеров.

1. По вогнутому мосту движется автомобиль со скоростью v, масса автомобиля т, радиус кривизны моста R. Чему равна сила давления, производимого автомобилем на мост, в низшей его точке?

Установим прежде всего, какие силы действуют на автомобиль. Таких сил две: вес автомобиля и сила давления моста на автомобиль. (Силу трения в этом и во всех последующих призерах мы исключаем из рассмотрения).

Когда автомобиль неподвижен, то эти силы, будучи равными по величине и направленными в противоположные стороны» уравновешивают друг друга.

Когда же автомобиль движется по мосту, то на него, как и на всякое тело, движущееся по окружности, действует центростремительная сила. Что является источником этой силы? Источником этой силы может быть только действие моста на автомобиль. Сила Q, с которой мост давит на движущийся автомобиль, должна не только уравновешивать вес автомобиля Р, но и вынуждать его двигаться по окружности, создавая необходимую для этого центростремительную силу F. Сила F может быть только равнодействующей сил Р и Q, так как она является результатом взаимодействия движущегося автомобиля и моста.

Эта тема будет посвящена более сложному виду движения – КРИВОЛИНЕЙНОМУ . Как несложно догадаться, криволинейным называется движение, траектория которого представляет собой кривую линию . И, поскольку это движение сложнее прямолинейного, то для его описания уже не хватает тех физических величин, которые были перечислены в предыдущей главе.

Для математического описания криволинейного движения имеются 2 группы величин: линейные и угловые.

ЛИНЕЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

1. Перемещение . В разделе 1.1 мы не стали уточнять различие между понятием

Рис.1.3 пути (расстояния) и понятием перемещения,

поскольку в прямолинейном движении эти

различия не играют принципиальной роли, да и

Обозначаются эти величины одной и той же бук-

вой S . Но, имея дело с криволинейным движением,

этот вопрос нужно прояснить. Итак, что такое путь

(или расстояние)? – Это длина траектории

движения. То есть, если Вы отследите траекторию

движения тела и измерите ее (в метрах, километрах и т.д.), вы получите величину, которая называется путем (или расстоянием) S (см. рис.1.3). Таким образом, путь – это скалярная величина, которая характеризуется только числом.

Рис.1.4 А перемещение - это кратчайшее расстояние между

точкой начала пути и точкой конца пути. И, поскольку

перемещение имеет строгую направленность из начала

Пути в его конец, то оно является величиной векторной

и характеризуется не только численным значением, но и

направлением (рис.1.3). Нетрудно догадаться, что, если

тело совершает движение по замкнутой траектории, то к

моменту его возвращения в начальное положение перемещение будет равно нулю (см. рис.1.4).

2 . Линейная скорость . В разделе 1.1 мы давали определение этой величины, и оно остается в силе, хотя тогда мы не уточняли, что эта скорость линейная. Как же направлен вектор линейной скорости? Обратимся к рис.1.5. Здесь изображен фрагмент

криволинейной траектории тела. Любая кривая линия представляет собой соединение между собой дуг разных окружностей. На рис.1.5 изображены только две из них: окружность (О 1 , r 1) и окружность (О 2 , r 2). На момент прохождения тела по дуге данной окружности ее центр становится временным центром поворота с радиусом, равным радиусу этой окружности.

Вектор, проведенный из центра поворота в точку, где в данный момент находится тело, называется радиусом-вектором. На рис.1.5 радиусы-векторы представлены векторами и . Также на этом рисунке изображены и вектора линейной скорости: вектор линейной скорости всегда направлен по касательной к траектории в сторону движения. Следовательно, угол между вектором и радиусом-вектором, проведенным в данную точку траектории, всегда равен 90°. Если тело движется с постоянной линейной скоростью, то модуль вектора изменяться не будет, тогда как его направление все время меняется в зависимости от формы траектории. В случае, изображенном на рис.1.5, движение осуществляется с переменной линейной скоростью, поэтому у вектора изменяется модуль. Но, поскольку при криволинейном движении направление вектора изменяется всегда, то отсюда следует очень важный вывод:

при криволинейном движении всегда есть ускорение ! (Даже если движение осуществляется с постоянной линейной скоростью.) Причем, ускорение, о котором идет речь в данном случае, в дальнейшем мы будем называть линейным ускорением.

3 . Линейное ускорение . Напомню, что ускорение возникает тогда, когда изменяется скорость. Соответственно, линейное ускорение появляется в случае изменения линейной скорости. А линейная скорость при криволинейном движении может изменяться кок по модулю, так и по направлению. Таким образом, полное линейное ускорение раскладывается на две составляющие, одна из которых влияет на направление вектора , а вторая на его модуль. Рассмотрим эти ускорения (рис. 1.6). На этом рисунке

рис. 1.6

О

изображено тело, движущееся по круговой траектории с центром поворота в точке О.

Ускорение, которое изменяет направление вектора , называется нормальным и обозначается . Нормальным оно называется потому, что направлено перпендикулярно (нормально) к касательной, т.е. вдоль радиуса к центру поворота . Его еще называют центростремительным ускорением.

Ускорение, которое изменяет модуль вектора , называется тангенциальным и обозначается . Оно лежит на касательной и может быть направлено как в сторону направления вектора , так и противоположно ему :

Если линейная скорость увеличивается, то > 0 и их вектора сонаправлены;

Если линейная скорость уменьшается, то < 0 и их вектора противоположно

направлены.

Таким образом, эти два ускорения всегда образуют между собой прямой угол (90º) и являются составляющими полного линейного ускорения , т.е. полное линейное ускорение есть векторная сумма нормального и тангенциального ускорения:

Замечу, что в данном случае речь идет именно о векторной сумме, но ни в коем случае не о скалярной. Чтобы найти численное значение , зная и , необходимо воспользоваться теоремой Пифагора (квадрат гипотенузы треугольника численно равен сумме квадратов катетов этого треугольника):

(1.8).

Отсюда следует:

(1.9).

По каким формулам рассчитывать и рассмотрим чуть позже.

УГЛОВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

1 . Угол поворота φ . При криволинейном движении тело не только проходит какой-то путь и совершает какое-то перемещение, но и поворачивается на определенный угол (см. рис. 1.7(а)). Поэтому для описания такого движения вводится величина, которая называется углом поворота, обозначается греческой буквой φ (читается «фи»). В системе СИ угол поворота измеряется в радианах (обозначается «рад»). Напомню, что один полный оборот равен 2π радианам, а число π есть константа: π ≈ 3,14. на рис. 1.7(а) изображена траектория движения тела по окружности радиуса r с цетром в точке О. Сам угол поворота – это угол между радиус-векторами тела в некоторые моменты времени.

2 . Угловая скорость ω – это величина, показывающая, как изменяется угол поворота за единицу времени. (ω – греческая буква, читается «омега».) На рис. 1.7(б) изображено положение материальной точки, движущейся по круговой траектории с центром в точке О, через промежутки времени Δt . Если углы, на которые поворачивается тело в течение этих промежутков, одинаковы, то угловая скорость постоянна, и это движение можно считать равномерным. А если углы поворота разные – то движение неравномерное. И, поскольку угловая скорость показывает, на сколько радиан

повернулось тело за одну секунду, то ее единица измерения – радиан в секунду

(обозначается «рад/с »).

рис. 1.7

а). б). Δt

Δt

Δt

О φ О Δt

3 . Угловое ускорение ε – это величина, показывающая, как изменяется за единицу времени. И, поскольку угловое ускорение ε появляется тогда, когда изменяется, угловая скорость ω , то можно сделать вывод, что угловое ускорение имеет место только в случае неравномерного криволинейного движения. Единица измерения углового ускорения – «рад/с 2 » (радиан за секунду в квадрате).

Таким образом, таблицу 1.1 можно дополнить еще тремя величинами:

Табл.1.2

Теперь можно перейти непосредственно к рассмотрению всех видов криволинейного движения, а их всего лишь три.

С прямолинейным движением мы более или менее научились работать на предыдущих уроках, а именно, решать главную задачу механики для такого вида движения.

Однако ясно, что в реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца, и даже траектория движения ваших глаз, следящих сейчас за этим конспектом.

Вопросу о том, как решается главная задача механики в случае криволинейного движения, и будет посвящен этот урок.

Для начала определимся, какие принципиальные отличия есть у криволинейного движения (Рис. 1) относительно прямолинейного, и к чему эти отличия приводят.

Рис. 1. Траектория криволинейного движения

Поговорим о том, как удобно описывать движение тела при криволинейном движении.

Можно разбить движение на отдельные участки, на каждом из которых движение можно считать прямолинейным (Рис. 2).

Рис. 2. Разбиение криволинейного движения на поступательные движения

Однако более удобным является следующий подход. Мы представим это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (см. Рис. 3.). Обратите внимание, что таких разбиений меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности является криволинейным. Кроме того, примеров движения по окружности в природе встречается очень часто. Из этого можно сделать вывод:

Для того чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Рис. 3. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Итак, начнем изучение криволинейного движения с изучения равномерного движения по окружности. Давайте разберемся, каковы принципиальные отличия криволинейного движения от прямолинейного. Для начала вспомним, что в девятом классе мы изучили тот факт, что скорость тела при движении по окружности направлена по касательной к траектории. Кстати, этот факт вы можете пронаблюдать на опыте, если посмотрите, как движутся искры при использовании точильного камня.

Рассмотрим движение тела по окружности (Рис. 4).

Рис. 4. Скорость тела при движении по окружности

Обратите внимание, что в данном случае модуль скорости тела в точке А равен модулю скорости тела в точке B.

Однако, вектор не равен вектору . Итак, у нас появляется вектор разности скоростей (см. Рис. 5).

Рис. 5. Разность скоростей в точках A и B.

Причем изменение скорости произошло через некоторое время . Таким образом, мы получаем знакомую комбинацию:

,

это не что иное, как изменение скорости за промежуток времени, или ускорение тела. Можно сделать очень важный вывод:

Движение по криволинейной траектории является ускоренным. Природа этого ускорения – непрерывное изменение направление вектора скорости.

Еще раз отметим, что даже если говорится, что тело равномерно движется по окружности, имеется в виду, что модуль скорости тела не изменяется, однако такое движение всегда является ускоренным, поскольку изменяется направление скорости.

В девятом классе вы изучали, чему равно такое ускорение и как оно направлено (см. Рис. 6). Центростремительное ускорение всегда направлено к центру окружности, по которой движется тело.

Рис. 6.Центростремительное ускорение

Модуль центростремительного ускорения может быть рассчитан по формуле

Переходим к описанию равномерного движения тела по окружности. Договоримся, что скорость , которой вы пользовались по время описания поступательного движения, теперь будет называться линейной скоростью. И под линейной скоростью мы будем понимать мгновенную скорость в точке траектории вращающегося тела.

Рис. 7. Движение точек диска

Рассмотрим диск, который для определенности вращается по часовой стрелке. На его радиусе отметим две точки A и B. И рассмотрим их движение. За некоторое время эти точки переместятся по дугам окружности и станут точками A’ и B’. Очевидно, что точка А совершила большее перемещение, чем точка B. Из этого можно сделать вывод, что чем дальше от оси вращения находится точка, тем с большей линейной скоростью она движется.

Однако, если внимательно посмотреть на точки А и В, можно сказать, что неизменным остался угол , на который они повернулись относительно оси вращения О. Именно угловые характеристики мы и будем использовать для описания движения по окружности. Отметим, что для описания движения по окружности, можно использовать угловые характеристики. Прежде всего, напомним понятие о радианной мере углов.

Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Таким образом, легко заметить, что например угол в равен радиан. И, соответственно, можно перевести любой угол, заданный в градусах, в радианы, умножив его на и поделив на . Угол поворота при вращательном движении аналогичен перемещению при поступательном движении. Заметим, что радиан – это безразмерная величина:

поэтому обозначение «рад» часто опускают.

Начнем рассмотрение движения по окружности с самого простого случая – равномерного движения по окружности. Напомним, что равномерным поступательным движением называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. Аналогично,

Равномерным движением по окружности называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.

Аналогично понятию линейной скорости вводится понятие угловой скорости.

Угловой скоростью называется физическая величина, равная отношению угла, на который повернулось тело ко времени, за которое произошел этот поворот.

Измеряется угловая скорость в радианах в секунду, или просто в обратных секундах.

Найдем связь между угловой скоростью вращения точки и линейной скоростью этой точки.

Рис. 9. Связь между угловой и линейной скоростью

Точка А проходит при вращении дугу длиной S, поворачиваясь при этом на угол φ. Из определения радианной меры угла можно записать, что

Разделим левую и правую части равенства на промежуток времени , за который было совершено перемещение, затем воспользуемся определением угловой и линейной скоростей

.

Обратим внимание, что чем дальше точка находится от оси вращения, тем выше ее угловая и линейная скорость. А точки, расположенные на самой оси вращения, неподвижны. Примером этого может служить карусель: чем ближе вы находитесь к центру карусели, тем легче вам на ней удержаться.

Вспомним, что ранее мы вводили понятия периода и частоты вращения.

Период вращения – время одного полного оборота. Период вращения обозначается буквой и измеряется в секундах в системе СИ:

Частота вращения – число оборотов в единицу времени. Частота обозначается буквой и измеряется в обратных секундах:

Они связаны соотношением:

Существует связь между угловой скоростью и частотой вращения тела. Если вспомнить, что полный оборот равен , легко увидеть, что угловая скорость:

Кроме того, если вспомнить, каким образом мы определили понятие радиана, станет ясно, как связать линейную скорость тела с угловой:

.

Запишем также связь между центростремительным ускорением и этими величинами:

.

Таким образом, мы знаем связь между всеми характеристиками равномерного движения по окружности.

Подытожим. На этом уроке мы начали описывать криволинейное движение. Мы поняли, каким образом можно связать криволинейное движение с движением по окружности. Движение по окружности всегда является ускоренным, а наличие ускорения обуславливает тот факт, что скорость всегда меняет свое направление. Такое ускорение называется центростремительным. Наконец, мы вспомнили некоторые характеристики движения по окружности (линейную скорость, угловую скорость, период и частоту вращения), и нашли соотношения между ними.

Список литературы:

1. Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
2. А. П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. – М.: Дрофа, 2006.
3. О. Я. Савченко. Задачи по физике. – М.: Наука, 1988.
4. А. В. Пёрышкин, В. В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. – М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

1. Энциклопедия ().
2. Аyp.ru ().
3. Википедия ().

Домашнее задание:

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.

1. Задачи 92, 94, 98, 106, 110 сб. задач А. П. Рымкевич изд. 10 ()
2. Вычислите угловую скорость движения минутной, секундной и часовой стрелок часов. Вычислите центростремительное ускорение, действующее на кончики этих стрелок, если радиус каждой из них равен одному метру.
3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:

Вопрос: Есть ли на поверхности Земли точки, в которых угловая скорость, связанная с суточным вращением Земли, равна нулю?

Ответ: Есть. Такими точками являются географические полюсы Земли. Скорость в этих точках равна нулю, потому что в этих точках вы будете находиться на оси вращения.

В зависимости от формы траектории, движение делится на прямолинейное и криволинейное. В реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д.

Рисунок 1. Траектория и перемещение при криволинейном движении

Определение

Криволинейное движение -- это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). При движении по криволинейной траектории вектор перемещения $\overrightarrow{s}$ направлен по хорде (рис. 1), а l -- длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 2).

Рисунок 2. Мгновенная скорость при криволинейном движении

Однако более удобным является следующий подход. Можно представить это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (см. рис. 4.). Таких разбиений получится меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности само является криволинейным.

Рисунок 4. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Вывод

Для того, чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Задачей исследования криволинейного движения материальной точки является составление кинематического уравнения, описывающего это движение и позволяющего по заданным начальным условиям определить все характеристики этого движения.

Кинематика точки. Путь. Перемещение. Скорость и ускорение. Их проекции на координатные оси. Вычисление пройденного пути. Средние значения.

Кинематика точки - раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Путь и перемещение. Линия, по которой движется точка тела, называется траекторией движения . Длина траектории называется пройденным путём . Вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории называется перемещением. Скорость - векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения тела, численно равная отношению перемещения за малый промежуток времени к величине этого промежутка. Промежуток времени считается достаточно малым, если скорость при неравномерном движении в течение этого промежутка не менялась. Определяющая формула скорости имеет вид v = s/t. Единица скорости - м/с. На практике используют единицу измерения скорости км/ч (36 км/ч = 10 м/с). Измеряют скорость спидометром.

Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло. Если скорость изменяется одинаково в течение всего времени движения, то ускорение можно рассчитать по формуле a=Δv/Δt. Единица ускорения – м/с 2

Скорость и ускорение при криволинейном движении. Тангенциальное и нормальное ускорения.

Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии.

Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции v x и v y ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам

v x =v 0 x +a x t, x=x 0 +v 0 x t+a x t+a x t 2 /2; v y =v 0 y +a y t, y=y 0 +v 0 y t+a y t 2 /2

Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением |a|=v 2 /r где r – радиус окружности.

Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих: ,

Нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:

v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизна траектории в данной точке.

Тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.

Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости движения по численному значению и направлена по касательной к траектории.

Следовательно

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Вычислим вектор:

4.Кинематика твёрдого тела. Вращение вокруг неподвижной оси. Угловые скорость и ускорения. Связь между угловыми и линейными скоростями и ускорениями.

Кинематика вращательного движения.

Движение тела может быть как поступательным, так и вращательным. В этом случае тело представляется в виде системы жестко связанных между собой материальных точек.

При поступательном движение любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой се­бе. По форме траектории поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают равные по величине и направлению перемещения. Следовательно,скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени также одинаковы. Для описания поступательного движения достаточно определить движение одной точки.

Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой (ось вращения).

Ось вращения может проходить через тело или лежать за его пределами. Если ось вращения проходит сквозь тело, то точки, лежа­щие на оси, при вращении тела остаются в покое. Точки твёрдого тела, находящиеся на разных расстояниях от оси вращения за одинаковые промежутки времени проходят различные расстояния и, следовательно, имеют различные линейные скорости.

При вращении тела вокруг неподвижной оси точки тела за один и тот же промежуток времени совершают одно и тоже угловое перемещение . Модуль равен углу поворота тела вокруг оси за время , направления вектора углового перемещения с направлением вращения тела связано правилом винта: если совместить направления вращения винта с направлением вращения тела, то вектор будет совпадать с поступательным движением винта. Вектор направлен вдоль оси вращения.

Быстроту изменения углового перемещения определяет угловая скорость - ω. По аналогии с линейной скоростью вводят понятия средней и мгновенной угловой скорости :

Угловая скорость - величина векторная.

Быстроту изменения угловой скорости характеризует среднее и мгновенное

угловое ускорение .

Вектор и может совпадать с вектором , и быть про­тивоположным ему