Cинус, косинус, тангенс и котангенс - все, что нужно знать на ЕГЭ по математике (2020). Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса Как найти угол зная его синус
Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.
Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. сайт содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней , синусов и арктангенсов , косинусов , тангенсов онлайн - множество тригонометрический функций и не только.
Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус.
Ввод цифр производится в двух вариантах:
- с мобильных устройств - ввод с дисплеем телефона или планшета, клавишами интерфейса программы
- с персонального компьютера - с помощью электронного дисплея интерфейса, либо через клавиатуру компьютера любыми цифрами
Инструкция по функциям инженерного калькулятора
Для понимания возможностей программы мы даем вам краткую инструкцию, более подробно смотрите в примерах вычислений онлайн . Принцип работы с научным калькулятором такой: вводится число, с которым будет производиться вычисление, затем нажимается кнопка функции или операции, потом, если требуется, то еще цифра, например, степень, в конце - знак равенства.
- - обратная функция для sin, cos, tan, переключает интерфейс на другие функции
- - натуральный логарифм по основанию «e»
- [ (] и [) ] - вводит скобки
- - отображает целую часть десятичного числа
- - гиперболический синус
- - синус заданного угла
- - возведение в квадрат (формула x^2)
- - вычисляет факториал введенного значения - произведение n последовательных чисел, начиная с единицы до самого введенного числа, например 4!=1*2*3*4, то есть 24
- - переводит из десятичного вида в формат в градусы, минуты, секунды.
- - гиперболический косинус
- - косинус угла
- - возведение икса в степ. игрик (формула x^y)
- [ y √x] - извлечение корня в степени y из икс
- - число Пи, выдает значение Pi для расчетов
- - гиперболический тангенс
- - тангенс угла онлайн, tg
- - помогает возвести в степень 3, в куб (формула x^3)
- [ 3 √x] - извлечь корень кубический
- - переключает ввод чисел в экспоненциальном представлении и обратно
- - позволяет вводить данные в экспоненциальном представлении.
- - позволяет нам вычислить остаток от деления одного числа на другое
- - рассчитывает десятичный логарифм
- - возведение десяти в произвольную степень
- - подсчитывает обратную величину
- - Возведение числа Эйлера в степень
- - отсекает целую часть, оставляет дробную
- - обратный гиперболический синус
- - арксинус или обратный синус, arcsin или 1/sin
- - перевод угла в градусах, минутах и секундах в десятичные доли градуса, подробнее
- - обратный гиперболический косинус
- - аркосинус или обрат. косинус arccos или 1/cos
- - рассчитывает число Пи, помноженное на два
- - обрат. гиперболический тангенс
- - арктангенс или обратный тангенс, arctg
Как пользоваться MR MC M+ M- MS
Как пользоваться инженерным калькулятором - на примерах
Как возвести в степень
Чтобы возвести, к примеру, 12^3 вводите в следующей последовательности:
12 [ x y ] 3 [=]
12, клавиша «икс в степени игрик» , 3, знак равенства [=]
Ответ: 1728
Как найти корень кубический
Допустим, что мы извлекаем корень кубический из 729, нажмите в таком порядке:
729 [=]
729, [ 3 √x] «кубический корень из икс», равенства [=]
Как найти корень на калькуляторе
Задача: Найти квадратный корень 36.
Решение: всё просто, нажимаем так:
36 [ y √ x ] 2 [=]
36, [ y √x] «корень из икса, в степени игрик», нужную нам степень 2, равно [=]
При помощи этой функции вы можете найти корень в любой степени, не только квадратный.
Как возвести в квадрат
Для возведения в квадрат онлайн вычислительная программа содержит две функции:
«икс в степени игрик», «икс в квадрате»
Последовательность ввода данных такая же, как и раньше - сначала исходную величину, затем «x^2» и знак равно, либо если не квадрат, а произвольное число, необходимо нажать функцию «x^y», затем указать необходимую степень и так же нажать знак «равно».
Например: 45 6 [=]
Ответ: сорок пять в шестой степ. равно 8303765625
Тригонометрический калькулятор онлайн - примеры
Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов
Обратите внимание, что сайт способен оперировать как градусами, так радианами и градами.
1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан.
Для включения того или иного режима измерения нажмите нужную кнопку:
где Deg - градусы, Rad - измерение в радианах, Grad - в градах. По умолчанию включен режим расчета в градусах.
В качестве самого простого примера найдем синус 90 градусов. Нажмите:
90 [=]
Ответ: единица
Также рассчитываются и другие тригонометрические функции, например, вычислим косинус 60 °:
60 [=]
Решение: 0,5
Аналогичным способом вычисляются обратные тригонометрические функции онлайн на КАЛКПРО - арксинус, арккосинус, арктангенс, а также гиперболические функции sinh, cosh, tanh.
Для их ввода необходимо переключить интерфейс, нажав , появятся новые кнопки - asin, acos, atan. Порядок ввода данных прежний: сначала величину, затем символ нужной функции, будь то акрсинус или арккосинус.
Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе
Позволяет перевести угол из формата градусы, минуты и секунды в десятичные доли градуса для вычислений. производит обратный перевод - в формат «градусы; минуты; секунды».
Например, угол 35 o 14 минут 04 секунды 53 десятые доли секунды переведем в десятые доли:
35,140453 [=] 35,23459166666666666666
Переведем в прежний формат: 35,23459166666666666666 [=] 35,140453
Десятичный логарифм онлайн
Десятичный логарифм на калькуляторе рассчитывается следующим образом, например, ищем log единицы по основанию 10, log10(1) или lg1:
1 [=]
Получается 0 в итоге. Для подсчета lg100 нажмем так:
100 [=]
Решение : два. Как себя проверить? Что вообще такое десятичный логарифм - log по основанию 10. В нашем примере 2 - это степень в которую необходимо ввести основание логарифма, то есть 10, чтобы получить 100.
Так же вычисляется натуральный логарифм, но кнопкой .
Как пользоваться памятью на калькуляторе
Существующие кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC.
Добавить данные в память программы, чтобы потом провести с ними дальнейшие вычисления поможет операция MS.
MR выведет вам на дисплей сохраненную в памяти информацию. MC удалит любые данные из памяти. M- вычтет число на онлайн дисплее из запомненного в памяти.
Пример . Внесем сто сорок пять в память программы:
145
После проведения других вычислений нам внезапно понадобилось вернуть запомненное число на экран электронного калькулятора, нажимаем просто:
На экране отобразится снова 145.
Потом мы снова считаем, считаем, а затем решили сложить, к примеру, 85 с запомненным 145, для этого нажимаем , либо для вычитания 85 из запомненного 145. В первом случае по возвращению итогового числа из памяти кнопкой получится 230, а во втором, после нажатия и получится 60.
Инженерный калькулятор сайт быстро и точно проведет сложные вычисления, значительно упрощая ваши задачи.
Перечень калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям!
Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси (в нашем примере, это радиус).
Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси и координата по оси. А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник. Он прямоугольный, так как является перпендикуляром к оси.
Чему равен из треугольника? Всё верно. Кроме того, нам ведь известно, что - это радиус единичной окружности, а значит, . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:
А чему равен из треугольника? Ну конечно, ! Подставим значение радиуса в эту формулу и получим:
Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка, принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что и - это просто числа? Какой координате соответствует? Ну, конечно, координате! А какой координате соответствует? Всё верно, координате! Таким образом, точка.
А чему тогда равны и? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что, а.
А что, если угол будет больше? Вот, к примеру, как на этом рисунке:
Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник: угол (как прилежащий к углу). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:
Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате; значение косинуса угла - координате; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.
Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора - вдоль положительного направления оси. До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы , а при вращении по часовой стрелке - отрицательные.
Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет или. А можно повернуть радиус-вектор на или на? Ну конечно, можно! В первом случае, таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении или.
Во втором случае, то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении или.
Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на или (где - любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.
Ниже на рисунке изображён угол. Это же изображение соответствует углу и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой или (где - любое целое число)
Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:
Вот тебе в помощь единичная окружность:
Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:
Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в соответствует точка с координатами, следовательно:
Не существует;
Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в соответствуют точки с координатами, соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.
Ответы:
Не существует
Не существует
Не существует
Не существует
Таким образом, мы можем составить следующую табличку:
Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:
А вот значения тригонометрических функций углов в и, приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить :
Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений :
Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (), а также значение тангенса угла в. Зная эти значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:
Зная это можно восстановить значения для. Числитель « » будет соответствовать, а знаменатель « » соответствует. Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего значения из таблицы.
Координаты точки на окружности
А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота ?
Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки .
Вот, к примеру, перед нами такая окружность:
Нам дано, что точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом точки на градусов.
Как видно из рисунка, координате точки соответствует длина отрезка. Длина отрезка соответствует координате центра окружности, то есть равна. Длину отрезка можно выразить, используя определение косинуса:
Тогда имеем, что для точки координата.
По той же логике находим значение координаты y для точки. Таким образом,
Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:
Координаты центра окружности,
Радиус окружности,
Угол поворота радиуса вектора.
Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:
Ну что, попробуем эти формулы на вкус, поупражняясь в нахождении точек на окружности?
1. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.
2. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.
3. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.
4. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.
5. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.
Возникли проблемы в нахождении координат точки на окружности?
Реши эти пять примеров (или разберись хорошо в решении) и ты научишься их находить!
1.
Можно заметить, что. А мы ведь знаем, что соответствует полному обороту начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на. Зная это, найдём искомые координаты точки:
2. Окружность единичная с центром в точке, значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:
Можно заметить, что. Мы знаем, что соответствует двум полным оборотам начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на. Зная это, найдём искомые координаты точки:
Синус и косинус - это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:
Таким образом, искомая точка имеет координаты.
3. Окружность единичная с центром в точке, значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:
Можно заметить, что. Изобразим рассматриваемый пример на рисунке:
Радиус образует с осью углы, равные и. Зная, что табличные значения косинуса и синуса равны, и определив, что косинус здесь принимает отрицательное значение, а синус положительное, имеем:
Подробней подобные примеры разбираются при изучении формул приведения тригонометрических функций в теме .
Таким образом, искомая точка имеет координаты.
4.
Угол поворота радиуса вектора (по условию,)
Для определения соответствующих знаков синуса и косинуса построим единичную окружность и угол:
Как можно заметить, значение, то есть положительно, а значение, то есть - отрицательно. Зная табличные значения соответствующих тригонометрических функций, получаем, что:
Подставим полученные значения в нашу формулу и найдём координаты:
Таким образом, искомая точка имеет координаты.
5. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде, где
Координаты центра окружности (в нашем примере,
Радиус окружности (по условию,)
Угол поворота радиуса вектора (по условию,).
Подставим все значения в формулу и получим:
и - табличные значения. Вспоминаем и подставляем их в формулу:
Таким образом, искомая точка имеет координаты.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Синус угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.
Косинус угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.
Тангенс угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).
Котангенс угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
Синус является одной из основных тригонометрических функций, применение которой не ограничено одной лишь геометрией. Таблицы вычисления тригонометрических функций, как и инженерные калькуляторы, не всегда под рукой, а вычисление синуса порой нужно для решения различных задач. Вообще, вычисление синуса поможет закрепить чертёжные навыки и знание тригонометрических тождеств.
Игры с линейкой и карандашом
Простая задача: как найти синус угла, нарисованного на бумаге? Для решения понадобится обычная линейка, треугольник (или циркуль) и карандаш. Простейшим способом вычислить синус угла можно, разделив дальний катет треугольника с прямым углом на длинную сторону - гипотенузу. Таким образом, сначала нужно дополнить острый угол до фигуры прямоугольного треугольника, прочертив перпендикулярную одному из лучей линию на произвольном расстоянии от вершины угла. Потребуется соблюсти угол именно 90°, для чего нам и понадобится канцелярский треугольник.
Использование циркуля немного точнее, но займёт больше времени. На одном из лучей нужно отметить 2 точки на некотором расстоянии, настроить на циркуле радиус, примерно равный расстоянию между точками, и прочертить полуокружности с центрами в этих точках до получения пересечений этих линий. Соединив точки пересечения наших окружностей между собой, мы получим строгий перпендикуляр к лучу нашего угла, остаётся лишь продлить линию до пересечения с другим лучом.
В полученном треугольнике нужно линейкой измерить сторону напротив угла и длинную сторону на одном из лучей. Отношение первого измерения ко второму и будет искомой величиной синуса острого угла.
Найти синус для угла больше 90°
Для тупого угла задача не намного сложнее. Нужно прочертить луч из вершины в противоположную сторону с помощью линейки для образования прямой с одним из лучей интересующего нас угла. С полученным острым углом следует поступать как описано выше, синусы смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол 180°, равны.
Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям
Также вычисление синуса возможно, если известны значения других тригонометрических функций угла или хотя бы длины сторон треугольника. В этом нам помогут тригонометрические тождества. Разберём распространённые примеры.
Как находить синус при известном косинусе угла? Первое тригонометрическое тождество, исходящее из теоремы Пифагора, гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
Как находить синус при известном тангенсе угла? Тангенс получают делением дальнего катета на ближний или делением синуса на косинус. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Заменяем косинус в квадрате на разность между единицей и квадратным синусом согласно первому тригонометрическому тождеству и путём нехитрых манипуляций приводим уравнение к вычислению квадратного синуса через тангенс, соответственно, для вычисления синуса придётся извлечь корень из полученного результата.
Как находить синус при известном котангенсе угла? Значение котангенса можно вычислить, разделив длину ближнего от угла катета на длину дальнего, а также поделив косинус на синус, то есть котангенс - функция, обратная тангенсу относительно числа 1. Для расчёта синуса можно вычислить тангенс по формуле tg α = 1 / ctg α и воспользоваться формулой во втором варианте. Также можно вывести прямую формулу по аналогии с тангенсом, которая будет выглядеть следующим образом.
Как находить синус по трём сторонам треугольника
Существует формула для нахождения длины неизвестной стороны любого треугольника, не только прямоугольного, по двум известным сторонам с использованием тригонометрической функции косинуса противолежащего угла. Выглядит она так.
Ну, а синус можно далее рассчитать по косинусу согласно формулам выше.Одной из самых часто используемых из всех тригонометрических таблиц Брадиса, является таблица синусов. В этой статье мы разберемся с таким понятием, как синус (sin), научимся находить значения синуса для различных углов (0, 30, 45, 60, 90), и поймем, для чего нужна таблица синусов.
Таблица синусов и её применение
Для начала нужно напомнить, что означает такое понятие, как синус угла.
Синус — это отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Это справедливо в случае, если треугольник прямоугольный.
Стандартный прямоугольный треугольник: стороны a (BC) и b (AC) — катеты, сторона с (AB) — гипотенуза
Пример: найдем синус угла ⍺ и угла β
sin ⍺ = а/с или отношение стороны ВС к стороне АВ. Если брать угол β, то противостоящим будет считаться сторона b или АС. Гипотенуза в данном случае та же — AB. Тогда:
sin β = b/с или АС отношение АВ.
В прямоугольном треугольнике всегда 2 катета и только одна гипотенуза
Как известно, целых значений угла — 360. Но часто нужно рассчитать значения для самых популярных углов, таких как: синус 0°, синус 30°, синус 45°, синус 60°, синус 90°. Эти значения можно найти в таблицах Брадиса.
Несмотря на то, что в 2021 году она отмечает свой столетний юбилей, свою актуальность таблица Брадиса не утратила. В частности ее применяют архитекторы, проектанты, конструктора для проведения быстрых промежуточных расчетов. Таблицы Брадиса разрешены к использованию в школах при сдаче ЕГЭ, в отличие от калькуляторов.